個数N、半減期Tの放射性物質があると仮定する。この物質のBqを計算すると、Bqの定義より次式が成立する。

｜dN/dt｜ =　λN　＝ {N0*Log(2)/T}*(1/2)^(t/T)…(1)

またf(T) = 1/T,
g(T) = (1/2)^(t/T),
F(T) = N0*Log(2)*f(T)*g(T)とすると、
(1)式は次のようになる。

｜dN/dt｜ =　F(T) = N0*Log(2)*f(T)*g(T) …(2)

F(T)が増加関数か減少関数か確定できればBqの半減期T依存性が見れる。
この場合、G(T) = f(T)*g(T)を満たす関数Gにおける導関数の正負を論ずればよい。
そこで、微分のチェーンルールより、

dG(T)/dT = f(T)*dg/dT + g(T)*df(T)/dT …(3)

が成り立つ。したがって、(4)式を項ごとに計算すると次式の通りである。

g(T)*df(T)/dT= -g(T)/T^2　…(4)
f(T)*dg(T)/dT =　(1/T)*{Log(1/2)}*{(1/2)^(t/T)}*(-t/T^2)
f(T)*dg(T)/dT =　(0.69314*t/T^3)*{(1/2)^(t/T)}
f(T)*dg(T)/dT　= 0.69314/T^3*g(T)　…(5)

(4)、(5)式から…

dG(T)/dT = g(T)/T^2*{0.69314*t/T - 1}

を導くことができる。この式も放射能の性質を論じるうえでかなり重要である。
次回は、半減期ごとに放射能の強さを予測しよう。それではまた。

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