近年騒がれている放射線問題を理解するために、原子物理学の基礎を解説しようと思います。原子物理学で避けて通れない概念のひとつに核崩壊方程式がありますので、この日記では、核崩壊方程式の解説をします。

はじめに、放射性物質は放射線を出しながらその個数を減らしていく性質があります。したがって、一般的に放射性物質の個数をN、時間をtとすると、Nはtの関数であらわすことができるのです。このtの関数をN = f(t)としましょう。

さらに、放射性物質が単位時間あたりに変化する量dN/dtは次式であらわせます。

dN/dt = -λN　…（1）

λは定数を表しています。この方程式が有名な核崩壊方程式です。この式からN = f(t)を解析できれば放射性物質量の時間変化を予言することが可能です。これは、大学数学で習う変数分離型微分方程式の知識が必要となります。詳細は、こちらのサイトをお読みください。変数分離を行い、積分を行うと

dN/dt = -λN
dN/N = -λdt
∫dN/N = -λ∫dt + C
Log(N) = -λt + C …（2）※Cは積分定数

のようになります。しかし、この式だけではまだよくわかりませんよね。そこで、Cやλを具体的に決定するために次のような初期条件を定めてみましょう。

t = 0　のとき　N = N0 　　　※N0は定数。…（3）
t = T のとき　N = (1/2)N0　※Tを半減期という。…（4）

このような条件を定めてやれば、面白い解が得られます。

（2）に（3）を代入すると、Cの値が次のように求められます。
Log(N0) = ‐λ×0 ＋C　∴　C =　Log(N0)　…（5）

また、（2）に（4）、（5）を代入するとλが次のように決定されます。
Log(N0/2) = ‐λT＋Log(N0)　
-λT = Log(1/2) = -Log(2)
λ = Log(2)/T …（6）

そこで、（6）をさらに（2）式に代入しましょう。
Log(N) = －(Log(2))t/T + Log(N0)
Log(N/N0) = (t/T)*Log(1/2)
N = N0 * (1/2)^(t/T) …（7）

よりすっきりした式が得られましたね。N = f(t)の形になりました。
この（7）式を用いて放射線物質を考察することが基本となります。

それではまた。

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